Inicio una serie de entradas que intentan explicar la razón de que no me gusten los libros de texto españoles de Matemáticas. Me centraré en la etapa de la ESO, por ser crucial en el asentamiento de los conocimientos fundamentales matemáticos que serán necesarios en etapas posteriores.
Razón 1: Las referencias a las propiedades básicas de los números y sus operaciones son nulas o muy escasas.
La respuesta a una época en la que se pecaba de excesivo formalismo en la enseñanza nos ha llevado a una época en la que se ignoran casi por completo las propiedades fundamentales de los números y de sus operaciones. Me refiero en particular a las propiedades de la suma y el producto de números reales:
- Propiedad conmutativa de la suma: $a+b=b+a$ para todo $a,b\in\mathbb R$
- Propiedad asociativa de la suma: $(a+b)+c=a+(b+c)$ para todo $a,b,c\in\mathbb R$
- Propiedad del elemento neutro de la suma: $a+0=0+a=a$ para todo $a\in\mathbb R$
- Propiedad del elemento opuesto de la suma: Para todo $a\in\mathbb R$ existe un número opuesto $(-a)$ tal que $a+(-a)=0$
- Propiedad asociativa del producto: $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ para todo $a,b,c\in\mathbb R$
- Propiedad conmutativa del producto: $a\cdot b=b\cdot a$ para todo $a,b\in\mathbb R$.
- Elemento neutro del producto: $a\cdot 1=1\cdot a=a$ para todo $a\in\mathbb R$
- Elemento inverso del producto: Para todo $a\neq 0$ existe un número inverso $1/a$ tal que $a\cdot 1/a=1$
- Propiedad distributiva: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ para todo $a,b,c\in\mathbb R$
De todas ellas tan solo suele aparecer la existencia del opuesto y el inverso de un número y la propiedad distributiva por su importancia en el álgebra, pero siempre falta una visión completa y general de este grupo fundamental de propiedades. Las palabras conmutativa y asociativa han desaparecido completamente de muchos textos de secundaria, Esto es un pecado matemático. Evidentemente, el nivel de abstracción a la hora de abordarlas debe ir creciendo gradualmente, pero en un curso como 3º ESO podría iniciarse ya una aproximación más formal.
La completa ignorancia de estas leyes nos lleva a decir cosas en clase que, bien pensadas, son de una cierta pobreza matemática. Por ejemplo, he llegado a ver en algún texto, al abordar la jerarquía de las operaciones con números, cosas del tipo siguiente:
"Primero se realizan las multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha), y a continuación se realizan las sumas y restas (de izquierda a derecha)."
¿Cómo calcular entonces la expresión $143-227-435+125-143+1+435-125+227$?
¿De izquierda a derecha?¿Sumando primero los positivos, después los negativos, y realizando la resta a continuación? ¿O será mejor usar las propiedades asociativa, conmutativa y del elemento opuesto? La idea que quiero transmitir es la siguiente: A partir de cierto momento es conveniente presentar los principios formales sobre los que se sustenta la aritmética de los números, y ayudar así al desarrollo del pensamiento abstracto en el alumno. La manía actual de querer contextualizar todos los aprendizajes, manía que se refleja en nuestros libros de texto, usurpa al alumno un acercamiento más abstracto a conceptos y propiedades, y eso es precisamente ir en contra de la (verdadera) competencia matemática.
Te cuento una anécdota de abuelo Cebolleta, Weno. Cuando yo empecé 1º de Bachillerato elemental (que equivaldría al actual 5º de Primaria, te estoy hablando de 1967), recuerdo que teníamos un libro de Matemáticas que empezaba con la adición y con la propiedad conmutativa, que explicaba con un ejemplo de números pintados en unas macetas con flores. Uno de losa primeros días, el profesor le dijo a una niña: "Fulanita, dime la propiedad conmutativa", a lo cual ella respondió: "Macetas". Nos echamos todos a reír y hoy me figuro que a lo mejor más de uno de los que se reían no entendía la propiedad conmutativa, pero puedo asegurarte que bastantes nos la sabíamos (creo que la formulábamos así: "El orden de los sumandos no altera el valor de la suma") y sabíamos también que significaba que 3+2 es lo mismo que 2+3. Nos enseñaron y aprendimos otras propiedades de esa y otras operaciones, asociativa, transitiva, que no eran tan difíciles y que, siendo niños de 10 años, los que queríamos (te advierto que entonces, en los colegios de los barrios extrarradiales como el mío se vagueaba tanto o más que ahora, pero existía la diferencia de que, al que iba mal, los padres lo ponían a trabajar a los 12 años), las aprendíamos; que ahora ni se planteen en la ESO... Una de las cosas que me parecen más inadmisibles del actual estado de cosas en los institutos es que los chicos esos que no estudian se nieguen incluso a hacer frente a cosas muy por debajo de sus posibilidades; es una pena que esthaya repercutido en libros y programas, porque en Lengua pasan cosas parecidas.
ResponderEliminarEl caso es que en los libros de primaria actuales creo que sí he visto las propiedades conmutativa y asociativa al hablar de la suma y el producto (con macetas y otras cosas del estilo), pero luego al llegar a la secundaria ¡desaparacen casi por completo!. Es cierto que los alumnos al final interiorizan estas propiedades, pero no viene mal que en últimos cursos de secundaria y/o bachillerato se enfoquen desde un punto de vista más formal, porque será una de las primeras cosas que vean en el primer año de universidad (los que vayan a la universidad, claro). Por ponerte un ejemplo, la lista de propiedades que ves en la entrada es la que define lo que llamamos el cuerpo de los números reales $({\mathbb R}, +, \cdot)$. ¿Por qué no ir preparando a los alumnos progresivamente a un lenguaje más depurado, para que no se vean desbordados por los formalismos y las técnicas que se usan en etapas posteriores?
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