Proporciones Inversas: Matemáticas

Inicio una serie de entradas que intentan explicar la razón de que no me gusten los libros de texto españoles de Matemáticas. Me centraré en la etapa de la ESO, por ser crucial en el asentamiento de los conocimientos fundamentales matemáticos que serán necesarios en etapas posteriores.

Razón 1: Las referencias a las propiedades básicas de los números y sus operaciones son nulas o muy escasas.

La respuesta a una época en la que se pecaba de excesivo formalismo en la enseñanza nos ha llevado a una época en la que se ignoran casi por completo las propiedades fundamentales de los números y de sus operaciones. Me refiero en particular a las propiedades de la suma y el producto de números reales:

Propiedad conmutativa de la suma: $a+b=b+a$ para todo $a,b\in\mathbb R$
Propiedad asociativa de la suma: $(a+b)+c=a+(b+c)$ para todo $a,b,c\in\mathbb R$
Propiedad del elemento neutro de la suma: $a+0=0+a=a$ para todo $a\in\mathbb R$
Propiedad del elemento opuesto de la suma: Para todo $a\in\mathbb R$ existe un número opuesto $(-a)$ tal que $a+(-a)=0$
Propiedad asociativa del producto: $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ para todo $a,b,c\in\mathbb R$
Propiedad conmutativa del producto: $a\cdot b=b\cdot a$ para todo $a,b\in\mathbb R$.
Elemento neutro del producto: $a\cdot 1=1\cdot a=a$ para todo $a\in\mathbb R$
Elemento inverso del producto: Para todo $a\neq 0$ existe un número inverso $1/a$ tal que $a\cdot 1/a=1$
Propiedad distributiva: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ para todo $a,b,c\in\mathbb R$

De todas ellas tan solo suele aparecer la existencia del opuesto y el inverso de un número y la propiedad distributiva por su importancia en el álgebra, pero siempre falta una visión completa y general de este grupo fundamental de propiedades. Las palabras conmutativa y asociativa han desaparecido completamente de muchos textos de secundaria, Esto es un pecado matemático. Evidentemente, el nivel de abstracción a la hora de abordarlas debe ir creciendo gradualmente, pero en un curso como 3º ESO podría iniciarse ya una aproximación más formal.

La completa ignorancia de estas leyes nos lleva a decir cosas en clase que, bien pensadas, son de una cierta pobreza matemática. Por ejemplo, he llegado a ver en algún texto, al abordar la jerarquía de las operaciones con números, cosas del tipo siguiente:

"Primero se realizan las multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha), y a continuación se realizan las sumas y restas (de izquierda a derecha)."

¿Cómo calcular entonces la expresión $143-227-435+125-143+1+435-125+227$?

¿De izquierda a derecha?¿Sumando primero los positivos, después los negativos, y realizando la resta a continuación? ¿O será mejor usar las propiedades asociativa, conmutativa y del elemento opuesto? La idea que quiero transmitir es la siguiente: A partir de cierto momento es conveniente presentar los principios formales sobre los que se sustenta la aritmética de los números, y ayudar así al desarrollo del pensamiento abstracto en el alumno. La manía actual de querer contextualizar todos los aprendizajes, manía que se refleja en nuestros libros de texto, usurpa al alumno un acercamiento más abstracto a conceptos y propiedades, y eso es precisamente ir en contra de la (verdadera) competencia matemática.

sábado, 7 de noviembre de 2015

Más claro... ¡Agua!

Polonia ha sido uno de los países que más ha mejorado sus resultados en las pruebas PISA de los últimos años. Ningún país europeo ha obtenido un avance tan espectacular.

En la página web de su Ministerio de Educación se puede leer, en lo que respecta al éxito obtenido especialmente en la materia de Matemáticas, lo siguiente:

"I asked PISA experts how it happened that we have managed to achieve such good results within such a short period of time. It has turned out that the first step was proper arrangement of problems which will be solved at the lower secondary school leaving examination. It was enough to change expectations concerning what we want to achieve at the examination so that teachers change their methods of work with students. We have achieved this result also thanks to the fact that mathematics is again among important subjects. In consequence, many young people decide to start scientific studies. My best congratulations to all lower secondary school students. My best compliments to teachers who had such good classes. My best compliments to my predecessors – said Joanna Kluzik-Rostkowska, Minister of National Education."

http://men.gov.pl/en/success-of-polish-lower-secondary-school-students-global-results-from-pisa-2012-survey/

"He preguntado a los expertos en las pruebas PISA cómo hemos sido capaces de obtener un éxito tan notable en un periodo de tiempo tan corto. Resulta que el primer paso consistió en un ajuste de los problemas que los estudiantes deben resolver en su prueba final de educación secundaria inferior. Fue suficiente cambiar las expectativas relacionadas con lo que se debía conseguir al realizar esta prueba para que los profesores pudieran adaptar sus métodos de trabajo con los estudiantes. También hemos conseguido este éxito gracias a que hemos vuelto a colocar las matemáticas entre las materias fundamentales. Y esto ha llevado a muchos estudiantes a iniciar estudios científicos. Mis felicitaciones a todos los estudiantes de secundaria inferior. Mis felicitaciones a los profesores por su buen trabajo. - dijo Joanna Kluzik-Rostkowska, Ministra de Educación Nacional"

Puesto que no creo que en los últimos años hayan decidido cambiar toda la plantilla de profesores del país, imagino que la razón fundamental de este éxito puede atribuirse a:

(1) La existencia de pruebas estandarizadas al final de la etapa de secundaria.

(2) La adecuación de dichas pruebas a los contenidos que se evalúan en PISA.

Así de simple, al menos como punto de partida. Pero no, aquí no queremos saber nada de pruebas estandarizadas porque traumatizaríamos a nuestros alumnos (y quizás a algunos profesores). Lástima que este sencillo primer paso no aparezca recogido en el libro tan comentado últimamente de Jose Antonio Marina (Despertad al diplodocus), que por alguna extraña razón, entre tanta información educativa que aporta, ignora completamente el interesante caso de Polonia...

sábado, 27 de junio de 2015

Educación Matemática, Informe PISA y Finlandia

George Malaty es un experto en Educación Matemática de origen ruso que conoce bien el sistema educativo finlandés. A raíz del éxito que este país ha obtenido en las pruebas PISA durante los últimos años, Malaty ha reflexionado con profundidad en el fenómeno, escribiendo diversos artículos sobre el asunto. En uno de ellos aparece una carta, refrendada por una amplia comunidad de matemáticos del país, donde el panorama que se presenta respecto al nivel matemático de los estudiantes finlandeses no es tan espectacular como a menudo podemos pensar. Incluyo el texto de esta carta, junto a una traducción libre de la misma.

The PISA survey tells only a partial truth of Finnish children’s mathematical skills

" The results of the PISA survey (http://www.pisa.oecd.org) have brought about satisfaction and pride in Finland. Newspapers and media have advertised that Finnish compulsory school leavers are top experts in mathematics.

However, mathematics teachers in universities and polytechnics are worried, as in fact the mathematical knowledge of new students has declined dramatically. As an example of this one could take the extensive TIMSS 1999 survey, in which Finnish students were below the average in geometry and algebra. As another example, in order not to fail an unreasonably large amount of students in the matriculation exams, recently the board has been forced to lower the cut-off point alarmingly. Some years, 6 points out of 60 have been enough for passing.

This conflict can be explained by pointing out that the PISA survey measured only everyday mathematical knowledge, something which could be - and in the English version of the survey report explicitly is - called “mathematical literacy”; the kind of mathematics which is needed in high-school or vocational studies was not part of the survey. No doubt, everyday mathematical skills are valuable, but by no means enough. Out of the 85 assignments in the survey about 20 have been published. The assignments are simple numerical calculations, minor problems or deductions, interpretation of statistical graphics and evaluation of situations where text comprehension is an essential part. However, hardly any algebra or geometry is included. Nevertheless, the assignments are well in agreement with the goals of the survey; in fact, the goal was to study everyday mathematical knowledge.

The PISA-survey leaves us, thus, with unanswered questions regarding many skills, like computing with fractions, solving elementary equations, making geometrical deductions, computing volumes of solid objects, and handling algebraic expressions. Still algebra is perhaps the most important subtopic in mathematical studies after the compulsory comprehensive school. In comprehensive school, the goal should be to learn the basic concepts of mathematics so that they can be used as a basis for more. Even the use of calculators does not change this situation: although calculators nowadays might be able to handle fractions, manual computation is essential to master since it is part of the foundations in handling algebraic expressions. Further study becomes impossible if the basics are not learned properly.

One reason for the increase of poor standards in the matriculation exam and in the beginning of university studies is, undoubtedly, the weakness of the foundation received in the comprehensive school. New, more difficult concepts are hard to learn because still in upper secondary school much energy is spent in reviewing concepts that should have been learned in the comprehensive school. This vicious circle continues in tertiary education: the high-school concepts are not properly learned, and further learning becomes more difficult. The PISA survey provides us with useful information regarding the mathematical literacy needed in everyday life and the ability to solve simple problems. These skills are simply not enough in a world which uses and utilizes mathematics more and more.

A proper mathematical basis is needed especially in technical and scientific areas, biology included. The PISA survey tells very little about this basis, which should already be created in comprehensive school. Therefore, it would be absolutely necessary that, in the future, Finland would participate also in international surveys which evaluate mathematical skills essential for further studies."

Kari Astala et al. (2006)

El informe PISA sólo cuenta una verdad parcial sobre las habilidades matemáticas de los niños finlandeses.

Los resultados del informe PISA (http://www.pisa.oecd.org) nos han llenado de satisfacción y orgullo en Finlandia. Los periódicos y otros medios de comunicación anuncian que los estudiantes que terminan su etapa de educación secundaria obligatoria son grandes expertos en matemáticas.

Sin embargo los profesores de las universidades y las escuelas de ingenieros están preocupados, tras constatar que el conocimiento matemático de los nuevos alumnos ha descendido dramáticamente. Como ejemplo de este hecho puede citarse el extenso informe TIMSS 1999, en el que los estudiantes finlandeses se encuentran por debajo de la media en materias como la geometría y el álgebra. Otro ejemplo se ha producido al tener que bajar alarmantemente las notas de corte en los exámenes de ingreso para no suspender a un número excesivo de aspirantes. En algunos años, han bastado 6 puntos de 60 para poder aprobar.

Este situación aparentemente contradictoria puede explicarse si tenemos en cuenta que el informe PISA mide tan solo un conocimiento matemático básico, cotidiano, algo que los ingleses suelen denominar "mathematical literacy"; el tipo de matemáticas que es necesario para proseguir estudios en el bachillerato o en las escuelas técnicas no forma parte de este informe. Sin lugar a dudas, las matemáticas necesarias en la vida cotidiana son importantes, pero en absoluto pueden considerarse suficientes.

De los 85 items de la prueba PISA se han publicado unas 20. Las preguntas consisten en cálculos numéricos sencillos, deducciones y problemas de poca dificultad, interpretaciones de gráficos estadísticos y evaluaciones de situaciones en las que la comprensión del texto es una parte esencial del ejercicio. Sin embargo, apenas puede decirse que estén presentes el álgebra o la geometría. A pesar de esto, los ejercicios se corresponden bien con los objetivos del estudio; de hecho, se trata de analizar el conocimiento de las matemáticas de la vida cotidiana.

El informe PISA, por tanto, nos deja sin respuestas respecto a muchas habilidades, como pueden ser la capacidad de calcular con fracciones, resolver ecuaciones elementales, realizar deducciones geométricas, calcular volúmenes de objetos sólidos o manejar expresiones algebraicas. Y el álgebra es quizás la rama de las matemáticas más importante para aquellos que prosiguen sus estudios tras la educación obligatoria.

En la educación obligatoria, el objetivo debería consistir en aprender los conceptos básicos de las matemáticas de tal modo que sirvan como base para ir a más. Incluso el uso de las calculadoras no cambia este hecho; aunque las calculadoras pueden manejar fracciones, el dominio de su cálculo manual es esencial, puesto que es parte indispensable para manipular expresiones algebraicas. Es imposible profundizar en el estudio de las matemáticas si estos elementos básicos no son aprendidos apropiadamente.

Una de las razones que explican el bajo nivel de exigencia en los exámenes de ingreso en la universidad se debe, indudablemente, a la debilidad de los conocimientos fundamentales que los alumnos adquieren en la educación obligatoria. Conceptos nuevos y de mayor dificultad son difíciles de aprender, y todavía en bachillerato se dedica mucha energía a repasar conceptos que deberían haber sido asimilados en etapas previas. Este círculo vicioso continúa en la educación terciaria: los conceptos del bachillerato no se adquieren con la suficiente solidez, y eso dificulta los nuevos aprendizajes en la universidad. El informe PISA nos ofrece información interesante respecto a las matemáticas de la vida cotidiana y a la capacidad de resolver problemas sencillos, pero estas habilidades no son suficientes en un mundo que utiliza las matemáticas cada vez más y más.

Un fundamento matemático adecuado es necesario en áreas científicas y técnicas, incluyendo la biología. El informe PISA no nos dice gran cosa sobre este fundamento, que debería haberse forjado durante el periodo de escolarización obligatoria. Por tanto, sería imprescindible que Finlandia participara también en informes internacionales que evalúen destrezas matemáticas esenciales para proseguir estudios posteriores.

Kari Astala et al. (2006)

viernes, 17 de abril de 2015

Math War

“¿Qué bien buscamos? Ciertamente no se trata de introducir a los estudiantes una colección de más o menos ingeniosos teoremas sobre bisectrices de ángulos de un triángulo o sobre la secuencia de los números primos, sino más bien enseñarles a ordenar y a enlazar sus pensamientos de acuerdo con los métodos que los matemáticos habitualmente usan, porque reconocemos en este ejercicio un modo de desarrollar una mente clara y un juicio excelente. Es el método matemático el que debería ser el objetivo de nuestra enseñanza, siendo los temas a tratar tan sólo ilustraciones bien escogidas del mismo.”

Jean Dieudonne

Hace unos años estuve muy interesado en lo que en EEUU se suele denominar la "Math War", enfrentamiento que durante un largo periodo de tiempo ha existido entre dos concepciones distintas de la educación matemática: Una que a menudo se califica de reformista o progresista, y otra que se asocia más a la educación conservadora o tradicional (si es que al final la política siempre se cuela de una manera u otra en toda discusión... ¡qué le vamos a hacer!). Esa confrontación también existe en nuestro país, pero no suscita el interés público suficiente para que los medios de comunicación se preocupen ni siquiera de darle un nombre, y la cosa se queda en tertulias (a veces muy encendidas) entre compañeros docentes.

El frente "progresista" aboga por las nuevas metodologías "centradas en el alumno" (constructivismo, aprendizaje basado en proyectos, integración con otras materias y saberes); el frente "tradicionalista" por la importancia de la clase magistral, acompañada de la práctica necesaria para fijar las nuevas destrezas, y preservando la separación de materias a efectos de hacer más eficaz el aprendizaje.

Desde hace ya tiempo la mayor parte de las opiniones que se emiten en España sobre educación desde los medios de prensa o desde las autoridades educativas suelen ponerse del lado del frente "progresista" o "renovador". Suena mejor. Es más atractivo. Mola más. Y el problema es que cuando una autoridad educativa se decanta por uno de los dos frentes, tiene la tentación de y el poder para intentar que sus tesis se lleven a la práctica en los centros educativos que de ella dependen, invitando con mayor o menor cordialidad a que todo el cuerpo docente se sume a la visión educativa que, sin lugar a dudas para dicha autoridad, es la correcta.

Pero no parece tan claro que las tesis del frente renovador sean definitivamente ciertas o mejores, en contraste con las del frente tradicionalista (si quieren pueden intercambiar 'renovador' y 'tradicionalista' en la frase precedente). Porque no parece haber todavía pruebas claras que aboguen por una metodología frente a la otra. Y de un tiempo a esta parte tengo la sensación incómoda de que a los profesores se nos están dando directrices sobre cómo debemos enseñar argumentando sobre principios educativos que carecen del suficiente fundamento científico. ¿No será mejor entonces esperar un poco hasta que haya evidencias demostradas a favor de una u otra forma de enfocar la enseñanza, antes de exigirnos adoptar métodos de incierto resultado? O, mientras se van despejando las dudas, ¿no será mejor confiar en la capacidad de nuestros profesores y en su experiencia para realizar su labor?

Nota 1: Quiero hacer constar que he conocido buenos docentes en los dos frentes educativos.

Nota 2: Para contrarrestar la ingente cantidad de artículos de opinión a favor de la educación "renovadora", aquí van cuatro documentos a favor de la educación "tradicional" (sobretodo en el ámbito de la educación matemática).

Nota 3: Sobre las Math Wars

sábado, 4 de abril de 2015

Presentación

La fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas $m_1$ y $m_2$ separados una distancia $r$ es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir:

$$F=G\frac{m_1m_2}{d^2},$$

donde:

$F$ es el módulo de la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su dirección se encuentra en el eje que une ambos cuerpos.

$G$ es la constante de gravitación universal.

(Ley de la Gravitación Universal - Wikipedia)

Las ciencias trabajan a menudo con magnitudes que se relacionan entre si, y entre las relaciones más básicas que pueden considerarse están la proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa.

Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón entre cantidades correspondientes permanece invariante; como ejemplo, cuando vamos al mercado a comprar tomates y consideramos las magnitudes $x$="Número de kilos que compro" e $y$="Precio que pago por ellos", podemos observar que cantidades correspondientes de las variables $x$ e $y$ mantienen siempre la misma razón $y/x$ (o sea, el mismo cociente), que en este caso se corresponde con el precio que tiene un kilogramo de tomates.

Cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales, el producto de cantidades correspondientes permanece invariante; así, si queremos leer un libro en un número determinado de días, digamos $x$, leyendo diariamente el mismo número de páginas $y$, el producto $x\cdot y$ debe permanecer constante, coincidiendo en este caso con el número total de páginas que tiene el libro en cuestión.

Las relaciones directas entre cantidades son las más frecuentes en nuestra vida cotidiana, y nos tropezamos con proporciones inversas en menos ocasiones. Y cuando se introducen estos conceptos a estudiantes jóvenes y se enfrentan a un problema que debe abordarse utilizando uno de ellos (que en cierto sentido son opuestos esntre si), resulta habitual que no tengan claro cuál es el más apropiado. Esta confusión es la que me ha llevado a dar el nombre de "Proporciones Inversas" al blog que nace aquí. En la vida se presentan muchas situaciones en las que verdaderamente no es fácil (al menos para mí) saber cómo deben afrontarse, y qué relaciones existen entre las distintas variables que las conforman, y cómo deben resolverse de manera satisfactoria. De esas situaciones conflictivas, principalmente relacionadas con la educación, la ciencia y la sociedad actuales, y del estado de perplejidad o confusión en el que me sumen, quiero dejar registro. Tal vez para aclararme las ideas al obligarme a redactar estas entradas; tal vez para que algún navegante que se tropiece con ellas me ayude a despejar dudas.

En cualquier caso, bienvenidos.